沿用至今的伽罗瓦理论到底有多伟大？

一元二次方程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但一元三次方程的解法似乎并不广为人知，而了解四次方程解法的就更少了。当然，解三次和四次方程都是有判断法则和求根公式的，这和二次方程是类似的。那么一个自然的问题是次数高于四次的一般代数方程有没有求根公式呢？也就是能不能利用系数把解表示出来呢？

于十六世纪的代数学而言，解三次和四次方程就是最大的难题，这一问题最终由意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。他们解四次方程的思想是通过变量替换获得一个三次方程，通过解这个三次方程就能获得原四次方程的解，于是很多数学家都想通过模仿这一方法来获得高次方程的根式解。

欧拉，高斯，拉格朗日这样当时最伟大的数学家都做过尝试，但最终都失败了。拉格朗日甚至发表了长篇大论，详细分析了三四次方程的解法，指出这种方法不可能适用于高次方程，最后拉格朗日惊叹：“高次方程的根式解是不可能解决的数学问题之一，这是在向人类的智慧挑战！”

所幸的是，在阿贝尔之后，法国天才数学家伽罗瓦（1811~1832）继承了他的思想，并进一步发展了相关理论，特别地，伽罗瓦深入研究了置换群论，彻底弄清了方程与根之间的关系，并最终形成了如今强大的伽罗瓦理论。伽罗瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿贝尔等前辈的启发下完成的，他创造性地引入了置换群、子群和正规子群等群论的概念，这些概念已经成为代数学中最重要和最基本的东西。