组合数学中的实物证明真的科学吗

等式是一种理解。可以有不同的模型去理解。

流氓数学家，暴力与美学的证明（Matrix? 67）

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用理性的方式去思考问题，是数学带给你的礼物

1.最经典的“无字证明”

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。

2.旋轮线的面积

车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？

他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

3.欧拉的流氓证明法

在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：

这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

4.国际象棋上的多米诺骨牌

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个的棋盘问题是数学游戏大师马丁?加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

撰写：MATRIX67

甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速 度是2 米每秒，乙的速度是3 米每秒。一只狗从 A 地出发，先以 6 米每秒的 速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到 甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一***跑了多少米？

这可以说是最经典的行程问题了。不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需 要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要 20 秒，在这 20 秒的时间里小狗一直在 跑，因此它跑过的路程就是 120 米。说到这个经典问题，故事可就多了。下面 引用某个经典的数学家八卦帖子：John von Neumann 曾被问起一个中国小学 生都很熟的问题：两个人相向而行，中间一只狗跑来跑去，问两个人相遇后狗 走了多少路。诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。Neumann 当然瞬 间给出了答案。提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。Neumann 惊 讶道：“什么诀窍？我就是把狗每次跑的都算出来，然后计算无穷级数”。

用Fermat数证明素数无穷多

Fermat数是指形为2^(2^n)+1的数，我们把2^(2^n)+1记作F(n)，其中n可以取所有自然数。显然所有的Fermat数都是奇数。一会儿我们将看到任两个Fermat数都是互素的，也就是说，每一个Fermat数的每一个素因子都与其它Fermat数的素因子不同。这也就说明，素数个数有无穷多。

引理1：F(0) * F(1) * F(2) * ... * F(n-1) = F(n) - 2, n>=1

证明：数学归纳法。F(0)=3且F(1)=5，那么k=1时显然成立。假设k=n成立，则当k=n+1时：

F(0) * F(1) * F(2) * ... * F(n)

= ( F(0) * F(1) * F(2) * ... * F(n-1) ) * F(n)

= ( F(n)-2 ) * F(n)

= ( 2^(2^n)-1 ) * ( 2^(2^n)+1 )

= 2^(2^(n+1))-1

= F(n+1)-2

引理2：对任意两个不相等的自然数n和m，有F(n)和F(m)互素。

证明：假设t同时整除F(n)和F(m)，m<n。根据引理1，有：

F(n)=F(0) * F(1) * F(2) * ... * F(m) * ... * F(n-1) - 2

这说明t可以整除

F(0) * F(1) * F(2) * ... * F(m) * ... * F(n-1) - F(n) = 2

注意到2只有两个因数1和2。前面说过Fermat数都是奇数，因此不可能被2整除。这样，t只能为1，这就证明了两个数互素。

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