中国数学史的相关信息

把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+с代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》（1280）中解决了三次函数的内插值问题。

一次同余式组解法《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子，秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(modαi）中的ki，式中秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数αi是收数（小数）、通数（分数）、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形，并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。高次方程立法用天元（相当于 x）作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式p1(x）和p2(x），令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如

，李冶则变另一多项式p2(x）为

使二者相减时消去分式多项式的分母，得

这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。 纵横图又称幻方，根据《乾凿度》和东汉郑玄注，至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期，纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中记录了这方面的成就。杨辉指出，九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列，其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n（1+n2）/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。小数现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号，例如18.56寸表示如图1；李冶则依靠算式的位置表示，例如－8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。