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关于无理数的发现

古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯(Hippasus)突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.

几何之父——欧几里德

我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(公无前330—前275)创立的。他在公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。

欧几里德生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。

古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。

《原本》问世后，它的手抄本流传了1800多年。1482年印刷发行以后，重版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。

欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度。”

欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。” 韦达（1540-1603） 法国数学家。生于法国东部地区的普瓦图，卒于巴黎。学习法律任律师，曾为议员，数学是其业余爱好。他被誉为16世纪最大的代数学家。他研读过许多著名数学家的著作，特别重视研究丢番图等人的在数学中使用符号的思想。他是第一个有意识地、系统地使用字母于数学的人。他写了许多代数学著作，如《分析方法入门》（1591）是最早关于符号代数的著作。他的名著《论方程的识别与订正》（1591著，1615出版）是方程论发展中的一个重要标志。他发现了有名的代数方程根与系数的关系--"韦达定理"。他的工作成果为近代代数学的发展奠定了重要基础，推进了方程论的发展。他还准确地预言了未来将出现一种运用符号的关于量的演绎科学。他对三角学、几何学、天文学也有研究，曾出版过三角学著作，设计改进历法等工作，在战争中为政府破译对方密码，赢得很高声誉。

德扎格（1593-1662） 法国数学家。射影几何学创建者之一。生于里昂，卒于同地。曾任军事工程师和建筑师。与数学家梅森、笛卡儿等有交往。1636年出版《论透视截线》小册子，开始论及透视问题。1639年出版《试图处理圆锥与平面相交情况初稿》，书中术语怪异，不易理解，当时新兴的解析几何对人们具有更大的吸引力，致使这部重要著作很快被遗忘。直到1845年沙勒偶然发现了这部书的手抄本，才重新引起数学家们的普遍重视，把它列为中世纪纯粹几何学的经典著作。书中引入了无穷元素，讨论极点和极线、透射、透视等问题，为射影几何奠定了坚实的基础。他所发现的"德扎格定理"（两三角形对应顶点联线***点，则对应边交点***线）是全部射影几何的基本定理。

笛卡儿（1596-1650） 法国哲学家、数学家、物理学家、生理学家、解析几何学奠基人之一。生于法国土伦，卒于瑞典斯德哥尔摩。出身贵族家庭，襁褓丧母，自幼体弱，早年在学校读书时，校长特许每天早晨在床上读书思考，养成了"晨思"的习惯，一直保持到晚年。1612年到巴黎的普瓦捷大学攻读法学，4年后获博士学位。1618年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行，1625年返巴黎。1628年，移居荷兰，从此得到了较为安静、自由的学术环境，潜心研究哲学数理及天文、物理、化学、生理等许多领域，埋头著述20多年。1649年冬，应邀为瑞典女王克里斯蒂娜（1626-1689）讲课，因生活习惯被破坏，数月后患肺炎逝世。（16年后，遗骨运回巴黎）。他的贡献是多方面的，尤其在哲学及数学方面有独到的见解。如强调科学的目地在于"造福人群"；反对经院哲学，主张"系统的怀疑"方法；提出"我思故我在"的原则，成为他的哲学中第一条原理。他强调使人"成为自然的主人和统治者"。他主张唯理论，他的数学思想与哲学思想有着极为密切的联系。他把几何学的推理方法或演绎法应用到哲学上，并且明确宣称，科学的本质是数学。他把物质运动的概念作为自然科学的哲学基础之后，就把运动带进了数学，在数学和其他自然科学里就有了辩证法。有许多重要著作，其中《方法论》（1637）是一部文学和哲学的经典著作，后面有三篇著名的附录：《折光学》、《论大气现象》、《几何学》。《几何学》是他唯一的数学著作，却确立了他在数学史上的崇高地位。他明确表述了解析几何的思想，标志着解析几何学的诞生。他还对微积分的创立起到了重要的推动作用。

费马（1601-1665） 法国数学家。生于法国南部博蒙-德洛马涅，卒于卡斯特尔。父经商，他自幼有良好的学习条件。在大学习法律，以律师为业，30岁时任图卢兹议会议员，直到去世。他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学知识，特别热爱古典文学。数学只是业余爱好，但在数论、解析几何、概率论等方面都有重大贡献，被誉为"业余数学家之王"。他性情淡薄，为人谦逊敦厚，公正廉明，生前不愿发表作品。去世后，他的很多论述遗留在旧纸堆中，书页空白处或在给朋友的书信里。他的儿子将这些内容汇集整理，编成《数学论集》两卷，在图卢兹出版（1679）。他对于近代数论的研究在欧拉之前几无人可与之匹敌。著名的"费马大定理"（不可能有满足 xn＋yn＝zn，n＞2的正整数x、y、z、n存在）激起后来历代数学家的兴趣，而至今尚未得到普遍证明。他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。由于提出了求曲线的切线及其极大、极小点的方法而被认为是微分学的创始人之一。他还是17世纪兴起的概率论的开拓者之一。他提出光学的"费马原理"，给后来的变分法研究以极大的启示。

沃利斯（1613-1703） 英国数学家。生于肯特郡，早年就读于剑桥大学神学系，业余自修数学。成为当时著名数学家之一。早年研究了一些古代数学家的著作，并翻译出版了一些古希腊数学家的名著。他的《无穷算术》中，计算了相当于某些代数函数和定积分，并得到关于π的无穷乘积的表达式：

4/π＝∫10 √--（1-x2）dx＝（1·3·3·5·5·7……）/（2·4·4·6·6·8……）

这是数学史上第一个无穷连乘积的例证，具有重要意义。他还著有《圆锥曲线》、《普通数学或算术大全》、《代数》、《力学，或论几何运动》等书。其中在算术、代数、微积分、几何等方面都有独特的创造，成为17世纪英国数学思想的代表人物之一。

帕斯卡（1623-1662） 17世纪法国数学家和物理学家，曾被誉为"阿基米德与牛顿两者间的中间环节"。帕斯卡在学术气氛浓厚的环境中长大，自小便表现出对数学的浓厚兴趣与卓越才华。13岁时精通欧几里得《原本》，并于同年偶然得到所谓的帕斯卡三角形。他发现该图的巧妙结构，研究了该数阵的性质，写成《三角阵算术》、从而奠定了组合论、数学归纳法的基础。帕斯卡三角形对应于牛顿二项式定理展开式各项系数，但晚于中国北宋贾宪三角约600多年。帕斯卡在射影几何中给出了帕斯卡定理等一系列结论，还与费马***同建立了概率论和组合论的基础。帕斯卡对摆线（旋轮线）进行了深入研究，由此得到一系列曲线华E轴旋转确定立体重心的结论，从而刺激了莱布尼茨对微积分的工作。帕斯卡曾制造出历史上第一台加减法计算器，能进行六位数的计算，为后来计算器的发展奠定了基础。帕斯卡在物理学、流体静力学等领域也表现出杰出的才能，还是法文散文大师和神学辩论家。只可惜他一生为宗教信仰所累，断断续续地研究数学，又断断续续地回到宗教冥想之中去，苦行僧似的自我折磨使他只活了39岁。

关孝和（约1642-1708） 日本数学家。生于群马县藤冈，卒于江户（今东京）。出身于武士家庭，长期在江户为贵族家府掌管财赋，直到1706年退职。他是日本传统数学--和算的奠基人，也是关氏学派的创始人，在日本被尊为算圣。他生前出版的著作仅有《发微算法》（1674），去世后又由其弟子编纂出版了一部遗稿《括要算法》（1712）。他的其他主要著作是在关氏学派内部以抄本形式秘传。他的主要数学成就是：在代数中改进了由中国传入的天元术方法，开创和算独特的笔算代数；使由中国传入的高次数字方程解法为和算家所掌握；建立了行列式概念及其初步理论；发现方程正负根存在的条件及与牛顿迭代法类似的解法等。此外，他在幻方、垛积方“圆理”（径、弧、矢间关系的无穷级数表达式）等方面均有研究。他还写过一些天文历法方面的著作。他的思想由他的弟子建部贤弘（1664-1739）等人继承和应用，对日本数学的发展产生了重要影响。

牛顿（1642-1727） 英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。生于英格兰林肯郡之南约13公里的伍尔索普小村子里，卒于伦敦肯辛顿区，葬于伦敦威斯敏斯特教堂。少年就读于农村小学，并曾务农多年。但他发奋图强，学习刻苦，1661年6月，以优异成绩考入剑桥大学三一学院。

1665年获文学士学位。由于伦敦流行鼠疫，波及剑桥，大学临时停办，他返乡两年。在乡间他终日思考各种问题，运用他的智慧和数年的知识积累，来制定科学创造的蓝图。他平生的三大发明[流数术（微积分）、万有引力和光的分析]都发轫于这一时期。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，1668年获硕士学位。他多年受教于巴罗教授，此时又协助巴罗编写讲义，撰写微积分和光学的论文，得到巴罗的高度评价。1669年，巴罗坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，当年便将"卢卡斯教授"的职位让给牛顿。一时传为佳话。牛顿担任这一职务直到1701年。1696年他任皇家造币厂监督，并移居伦敦，1699年成为厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。1705年被女王安妮（1665-1714）封为爵士。他晚年潜心于自然哲学和神学。在数学方面，他的最卓越的贡献是创建微积分。早在1665年他的手稿中就开始有"流数术"的记载。1669年，他写成第一篇微积分论文《运用无穷多项方程的分析》，并交皇家学会备案（1711年出版）。他的正式的流数术著作《流数术方法和无穷级数》于1671年完成。1676年，他又写成他的第3篇重要的微积分论文《曲线求积术》（后来作为《光学》一书的附录发表于1704年）。1687年，他在哈雷的敦促和帮助下发表了巨著《自然哲学的数学原理》。这部著作从作为力学基础的定义和公理（运动定律）出发，将整个力学建立在严谨的数学演绎基础之上，不仅深入地运用了他本人创造的分析工具，也是他的微积分学说的第一次正式公布。他在代数学领域也有一系列重要发现，如n次代数方程根的m次幂和的公式，实系数方程虚根成对的证明等。此外，他在数论、解析几何、曲线分类、变分法、概率论等分支也有涉及。他在力学、光学、天文学等许多自然科学领域都有巨大贡献，被奉为最伟大的科学家之一。但他的天才常被夸大到神化的程度，而忽略了他长期刻苦努力的一面。

莱布尼茨（1646-1716） 德国数学家、哲学家、自然科学家。生于莱比锡，卒于汉诺威。他自幼丧父，但作为莱比锡大学伦理学教授的父亲，给他留下了丰富的藏书，他的母亲很有学识和远见，从小送他进莱比锡最好的学校学习，使他自幼受到良好的家庭及学校教育。他从小就学习用多种语言表达思想，并表现出超常的哲学天赋。14岁时对逻辑学产生兴趣，常提出自己的独立见解。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，接触了伽利略、培根、霍布斯、笛卡儿等人的科学和哲学思想。1666年他在纽伦堡阿尔特多夫大学取得法学博士学位。他当时写出的论文《组合的艺术》已含有数理逻辑的早AE?思想，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年后，他投身于外交界，有机会游历欧洲各国，接触数学界名流，尤其是与惠更斯的交往，激起了他对数学的兴趣。他曾制作了一台能作乘法的计算器，是继帕斯卡加法器官（1642）之后，计算工具的又一进步。1673年出访伦敦时，他把这台机器献给了英国皇家学会，还曾送一台复制品给中国的康熙皇帝，可惜目前在故宫已找不到这台机器。1676年，他到了汉诺威，任公爵处顾问及图书馆馆长。此后40年，他常居汉诺威，直到去世。他曾创建勃兰登堡科学协会（后改为柏林科学院），并担任主席。他虽卷入过各种政治斗争，但始终未中断科学研究。他的研究领域极为广泛，涉及到逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史学、语言学、生物学以及外交、神学等方面。他在数学领域最重要的贡献是与牛顿各自独立地创立了微积分学。牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼茨则从几何学的角度去考虑，特别和巴罗的微分三角形有密切关系。他的第一偏微分学论文于1684年发表在《学艺》杂志上，是世界上最早的微积分文献。他所创造的微积分符号至今仍在高等数学领域中广泛使用。此外，他在组合分析、代数行列式、曲线族的包络等理论方面也都有重要发现。他系统地阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。在哲学方面，他倡导客观唯心主义的单子论，并含有辩证法的因素，1714年写成《单子论》，综述了他的哲学观点。