对称型（点群）中有关群论的一些总结

（1）点群的封闭性对应于对称型中所有对称要素的完整性，即在点群的任何对称操作前后，对称要素守恒，没有对称要素的消失和产生，也没有对称要素布局的可识别变化。

（2）对称型中若干对称要素的操作可组成这个对称型所对应的点群的一个子群。每一对称要素的操作都是一个群或子群；低次对称轴往往是高次对称轴的子群。

（3）点群G的不变子群H的几何意义为：G中的任何操作均不改变H的对称要素的位置。例如：L33P（3m）中的任何操作不改变L3的位置，即L3为L33P中的不变子群。

（4）若点群中存在着使一组对称要素互易位置（但不可辨别）的操作，则称这组对称要素相互***轭，即为同一***轭类。例如L33P点群中的3个对称面。

（5）对称要素（或对称型）与对称要素（或对称型）的组合可以形成另一对称型，对应于点群H与点群P的直积可以形成另一点群。但是，点群的直积要受直积的条件限制，点群H与点群P可构成外直积群G的几何证据是：一个点群的对称要素不被另一点群的操作所变动，这是群H与群P都作为群G的不变子群的要求，例如L2［001］与L2［010］可以外直积，因为它们的操作不改变它们的位置，形成3L2这个外直积群；点群H与点群P可构成半直积群G的几何判据是：作为G中不变子群的H，其对称要素不被点群P的操作所变动，但子群P的对称要素允许被子群H的操作变换为与之***轭的对称要素，例如Ln（n＞2）与垂直它的L2可以半直积，因为L2的操作不改变Ln的位置，但Ln的操作会改变L2的位置，形成LnnL2这个半直积群，其中有一些L2是由Ln的操作而相互复制的，为同一***轭类。所以，对称要素的组合中，对称要素的相交角度不能是任意的，它要保证至少有一个对称要素的位置保持不变，否则，将无穷尽地产生对称要素，就不能满足群的封闭性。